矩阵的运算

### 运算1：矩阵的加法
> 矩阵的和，就是对应位置元素的和

满足的运算律：
1. 交换律 `A+B = B+A`
2. 结合律 `(A+B)+C=A+(B+C)`

### 运算2：数与矩阵相乘
```latex
kA = \begin{pmatrix}
  ka_{11} \quad ka_{12} \quad ... \quad ka_{1n} \\
  ka_{21} \quad ka_{22} \quad ... \quad ka_{2n} \\
  \quad ⋮ \quad  \quad \\
  ka_{m1}\quad ka_{m2} \quad ... \quad ka_{mn} \\
\end{pmatrix}
```

### 运算3：矩阵与矩阵相乘

矩阵相乘不满足交换律，但是满足结合率和分配律：
1. `(AB)C=A(BC)`
2. `k(AB)=(kA)B=A(kB)`
3. `A(BC)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA`

### 单位矩阵
单位矩阵$$E$$是`方阵`，有如下形式：
```latex
E=\begin{pmatrix}
  1\quad 0\quad ... \quad 0\\
  0\quad 1\quad ... \quad 0\\
  \quad \quad ⋮ \quad \\
  0\quad 0\quad ... \quad 1\\
\end{pmatrix}
```
单位矩阵有如下性质：`EA=AE=A`
可见单位矩阵$$E$$在矩阵乘法中的作用类似于数字1.

### 矩阵的转置
> 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做矩阵A的转置矩阵，记作$$A^T$$

矩阵的转置有以下运算规律：
$$(A^T)^T=A$$
$$(A+B)^T=A^T+B^T$$
$$(kA)^T=k(A^T)$$
$$(AB)^T=B^TA^T$$

> 对于n阶方阵A，如果满足$$A^T=A$$，即$$a_{ij}=a_{ji}$$，那么A称为`对称矩阵`

### 矩阵的行列式
> 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记作$$det A$$ 或$$|A|$$

由方阵A所确定的行列式|A|满足以下运算规律：
$$|A^T|=|A|$$
$$|kA|=k^n|A|$$
$$|AB|=|A||B|$$

### 伴随矩阵